1. 拉格朗日松弛原理
关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决．在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功．对于方程论，拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变．尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示
2. 拉格朗日收敛
拉格朗日出生在意大利的都灵。由于是长子，父亲一心想让他学习法律，然而，拉格朗日对法律毫无兴趣，偏偏喜爱上文学。
直到16岁时，拉格朗日仍十分偏爱文学，对数学尚未产生兴趣。16岁那年，他偶然读到一篇介绍牛顿微积分的文章《论分析方法的优点》，使他对牛顿产生了无限崇拜和敬仰之情，于是，他下决心要成为牛顿式的数学家。
在进入都灵皇家炮兵学院学习后，拉格朗日开始有计划地自学数学。由于勤奋刻苦，他的进步很快，尚未毕业就担任了该校的数学教学工作。20岁时就被正式聘任为该校的数学副教授。从这一年起，拉格朗日开始研究“极大和极小”的问题。他采用的是纯分析的方法。1758年8月，他把自己的研究方法写信告诉了欧拉，欧拉对此给予了极高的评价。从此，两位大师开始频繁通信，就在这一来一往中，诞生了数学的一个新的分支——变分法。
1759年，在欧拉的推荐下，拉格朗日被提名为柏林科学院的通讯院士。接着，他又当选为该院的外国院士。
1762年，法国科学院悬赏征解有关月球何以自转，以及自转时总是以同一面对着地球的难题。拉格朗日写出一篇出色的论文，成功地解决了这一问题，并获得了科学院的大奖。拉格朗日的名字因此传遍了整个欧洲，引起世人的瞩目。两年之后，法国科学院又提出了木星的4个卫星和太阳之间的摄动问题的所谓“六体问题”。面对这一难题，拉格朗日毫不畏惧，经过数个不眠之夜，他终于用近似解法找到了答案，从而再度获奖。这次获奖，使他赢得了世界性的声誉。
1766年，拉格朗日接替欧拉担任柏林科学院物理数学所所长。在担任所长的20年中，拉格朗日发表了许多论文，并多次获得法国科学院的大奖：1722年，其论文《论三体问题》获奖;1773年，其论文《论月球的长期方程》再次获奖;1779年，拉格朗日又因论文《由行星活动的试验来研究彗星的摄动理论》而获得双倍奖金。
在柏林科学院工作期间，拉格朗日对代数、数论、微分方程、变分法和力学等方面进行了广泛而深入的研究。他最有价值的贡献之一是在方程论方面。他的“用代数运算解一般n次方程(n4)是不能的”结论，可以说是伽罗华建立群论的基础。
3. 拉格朗日定理作用
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡,则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
4. 拉格朗日松弛算法
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
5. 拉格朗日最小作用量原理
一．线性插值(一次插值） 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
首先,插值法是：利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值,这种方法称为插值法.
其目的便就是估算出其他点上的函数值.
而拉格朗日插值法就是一种插值法.
6. 拉格朗日放缩
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0，
L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
7. 拉格朗日松弛算法案例
拉格朗日法是描述流体运动的两种方法之一，又称随体法，跟踪法。
是研究流体各个质点的运动参数（位置坐标、速度、加速度等）随时间的变化规律。综合所有流体质点运动参数的变化，便得到了整个流体的运动规律。
在研究波动问题时，常用拉格朗日法
8. 拉格朗日松弛问题
在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个矢量的系数。
引入新变量拉格朗日乘数，即可求解拉格朗日方程
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
9. 拉格朗日松弛算法是精确算法吗
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。 实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。 欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。 所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。 对于常微分方程：
dy/dx=f(x，y)，x∈[a，b]
y(a)=y0。
可以将区间[a，b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi，y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h=f(xi，y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。 因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
yi+1= yi+h*f(xi，yi)，i=0，1，2，L。
这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1，y2，L。
10. 拉格朗日松弛法matlab程序
拉格郎日乘数法的适用条件是乘数不等于0。
求最值（最值是某个区间的最大或最小,注意最大/最小可能有同值的多个,所以也不唯一哈,极值是一个小范围,很小很小,内的最值）.因为最值总是发生在极值点+区间边界点+间断点处,所以可以用拉朗乘数求出极值,用边界和间断点极限求出可疑极值,比较他们的大小,就可以找到区间内的最值了.特别地,若函数在区间内用拉朗求出仅一个极值,切很易判定没有其他可疑极值点,就可以直接判断那个极值是最值；或者可以判断函数在所给区间内单调（比如exp（x^2+y^2)在（x>0,y>0)时单调递增）,就不用求极值（因为没有）,直接求区间边界（或者间断点,有间断点也可以单调的）作为最值。
11. 拉格朗日松弛算法和对偶的关系
线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式：P1(x) = ax + b，使它满足条件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1
其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0, x1]比较小，且f（x）在[x0, x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。