一、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反应了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。表达式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。
二、拉格朗日中值定理证明
公式，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）
定义，如果函数f(x)满足：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。
三、拉格朗日中值定理例题
拉格朗日中值定理
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b
四、拉格朗日中值定理高中
首先,由于点( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线方程是这样的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)
所以构造函数成两曲线距离d与x之间的关系即可：H(x)=f(x)-y (曲线减去直线)
由于两条线的起点与终点均重合,所以必然符合罗尔定理的条件H(a)=H(b),然后马上可以用罗尔定理证得.
思路：
1、拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的推广（或者说一般情况）,而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推广（或者说特殊情况）.
2、罗尔定理的条件f(a)=f(b)就意味着是点( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线平行于坐标轴的情况,然后求函数f(x)的极值点（等价于求f'(k)=0的点）属于特殊情况.
而拉格朗日中值定理的情况是,罗尔定理的一般情况.( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线已经跟x轴产生夹角了,所以构造函数的时候就要把它的坐标轴转变一下.然后还是跟罗尔定理一样,求出函数H（x）的极值点即可.
五、拉格朗日中值定理定义
人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。
意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。
1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理，他给出的定理的最初形式是：“函数 在 与 之间连续， 在 与 之间有最小值 与最大值 ，则 必取 与 之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数 在闭区间上具有连续导数 ，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的
六、拉格朗日中值定理的条件
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
七、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的区别
一、地位不同： 1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广， 2、拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。 二、几何意义不同： 1、柯西中值定理几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。 2、拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
八、拉格朗日中值定理在极限的应用
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
九、拉格朗日中值定理的条件和结论
在高中阶段（国内），命题的否定指的是；只否定该命题的结论，（条件不变）。而否命题指的是：否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在 a>0, 使得a+b≤0”,否命题是“若a<=0,则a+b≤0”；
注意：命题的否定和否命题是完全不相同的，不可混淆！