1. 带拉格朗日泰勒展开式
拉格朗日（Lagrange）余项： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。 证明： 根据柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之间；
2. 带拉格朗日余项的泰勒展开式
线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式：P1(x) = ax + b，使它满足条件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1
其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0, x1]比较小，且f（x）在[x0, x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。
3. 拉格朗日型泰勒展开
f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^
2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函数f（x）＝√x按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4
4. 含拉格朗日余项的泰勒展开式
拉格朗日（Lagrange）余项： ，其中θ∈（0,1）。 拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。 证明： 根据柯西中值定理： 其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到： 其中θ在x和x0之间；同时： 进而： 综上可得：
5. ex的拉格朗日泰勒展开式
拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
6. 特殊的泰勒展开式
被称为管理学之父
弗雷德里克·温斯洛·泰勒（1856年3月20日—1915年3月21日），美国著名管理学家，经济学家，被后世称为“科学管理之父”。出生于费城一有名律师家庭的泰勒，从小生活富足，并接受了良好的教育。
1874年，他考入哈佛大学法律系，不久，因眼疾辍学。1875年，他进入费城恩特普里斯水压工厂当模具工和机工学徒。1878年，他转入费城米德维尔钢铁公司工作。从机械工人做起，历任车间管理员、小组长、工长、技师等职，他在该厂一直干到1890年。
从1881年开始，他进行了一项“金属切削试验”，由此研究出每个金属切削工人工作日的合理工作量。1898年，泰勒受雇于伯利恒钢铁公司期间，进行了著名的“搬运生铁块试验”和“铁锹试验”。
泰勒一生大部分的时间所关注的，就是如何提高生产效率。这不但要降低成本和增加利润，而且要通过提高劳动生产率增加工人的工资。泰勒在亲身的工作中感到了提升工作效率在工厂实践中的重要性，并且在众多的实践中，创立了自己的管理理论——科学管理学说。泰勒的主要著作有：《计件工资制度》（1895年）、《车间管理》（1903年）、《科学管理原理》（1911年）。