1. 罗尔拉格朗日和柯西定理之间的关系
使用区间是闭区间，且要求在区间上连续可导考研的话，微分中值定理是高数的重点及难点考试的话一般拿来压轴所以这章是很深的，一般需要构造另外一个函数才能完成证明题.我看的书都是借图书馆的,多去图书馆吧.
2. 拉格朗日定理与柯西定理
拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，大多数是利用罗尔中值定理构建辅助函数来证明的。
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拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的.整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。
3. 拉格朗日定理罗尔定理柯西定理
特殊到一般的关系。连续函数介值定理是引理，最特殊的。罗尔定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要连续可导有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是罗尔定理。柯西中值定理f(x)g(x)连续可导，gx导数不为0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果设g(x)=x则g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以说拉格朗日是柯西的特殊情况(g(x)=x)罗尔是拉格朗日的特殊情况(f(b)=f(a))
4. 罗尔定理推导拉格朗日
罗尔定理可知。
fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。
开始证明拉格朗日。
假设一函数fx。
目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。
此时就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→
f′e=(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)=(fb-fa)。
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证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。
首先是式子进行整理，整理成左边是式子，右边是零，其次是构造函数，构造的这个函数的导数要等于原来的函数，这便于用罗尔定理，其次是要找出能使用罗尔定理的最后一个条件，即两个函数值相等，最后用罗尔定理证明必有一点导数值为零，即得证。
5. 罗尔定理和拉格朗日定理之间的关系
拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡,则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
6. 罗尔定理和拉格朗日定理柯西中值定理关系
如果函数f(x)及F(x)满足：
(1)在闭区间[a，b]上连续；
(2)在开区间(a，b)内可导；
(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，
那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。
7. 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系
拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群G的阶的约数值。
1.定理内容
叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。
8. 费马罗尔拉格朗日柯西定理
由开尔文定理可直接推论得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩涡不生不灭定理:
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。反之，若初始时刻该部分流体有涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为有涡。
9. 罗尔定理和拉格朗日定理和柯西定理的关系
拉格朗日定理的意义如下：
1、拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
2、几何意义： 若连续曲线在 两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点 ，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
3、运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。