一、罗尔定理与拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是特殊的柯西中值定理，柯西中值定理是广义的拉格朗日中值定理。
二、罗尔定理拉格朗日中值定理证明题
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
三、罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。 几何意义： 若连续曲线在 两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点 ，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。 运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。 拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
四、罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
1罗尔定理的证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
2罗尔定理是什么
罗尔定理一般指罗尔中值定理。
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
五、罗尔定理与拉格朗日中值定理的区别
特殊到一般的关系。连续函数介值定理是引理，最特殊的。罗尔定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要连续可导有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是罗尔定理。柯西中值定理f(x)g(x)连续可导，gx导数不为0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果设g(x)=x则g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以说拉格朗日是柯西的特殊情况(g(x)=x)罗尔是拉格朗日的特殊情况(f(b)=f(a))
六、罗尔定理与拉格朗日中值定理的几何意义
特殊到一般的关系。连续函数介值定理是引理，最特殊的。罗尔定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要连续可导有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是罗尔定理。柯西中值定理f(x)g(x)连续可导，gx导数不为0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果设g(x)=x则g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以说拉格朗日是柯西的特殊情况(g(x)=x)罗尔是拉格朗日的特殊情况(f(b)=f(a))
七、罗尔定理与拉格朗日中值定理有怎样的关系呢
罗尔中值定理的应用
罗尔中值定理
函数y=f(x)满足：
1、f(x)∈C[a,b];
2、f(x)∈D(a,b);
3、f(a)=f(b)。
⇒f(ξ)`=0，(a<ξ<b)。
应用
1、证明方程存在唯一解；
2、证明方程有解。
步骤
证明方程存在唯一解:
1、证明方程有解；
2、证明方程只有一个解。
证明方程有解:
1、联想罗尔中值定理的结论：f(ξ)`=0，可将需要证明的方程看作是某个函数的一阶导数，并求出原函数；
2、套用罗尔中值定理的三个条件，得出最终证明。